题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=| 6 |
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求点F到平面PCE的距离；
（3）求直线FC平面PCE所成角的大小．
分析：解法一：
（1）根据直线与平面平行的判定定理可知：需在平面PCE中寻找一条平行于AF的直线，平行主要依据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等． 此题中取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，易证四边形AEGF是平行四边形．
（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．因为EG⊥平面PCD，所以平面PCD内，过F作FH⊥PC于H，由于平面PCD∩平面PCE=PC，则FH的长就是点F到平面PCE的距离．
（3）线面角大小的度量关键在于作出垂直于面的垂线，此题中由（2）可知：∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角．
解法二：
分别以AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（
，0，0），F（0，
，
），C（
，3，0），这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）取PC的中点G，连接EG，则(
，
，
)．，因为
=(0，
，
)，
=(0，
，
)，则
∥
，即AF∥EG．
（2）设平面PCE的法向量为
=(x，y，z)，
=(-
，0，3)，
=(
，3，0)．，可得：
=(
-1，1)
（3）因为
=(
，
，-
)，由向量的数量积运算可以求得：直线FC与平面PCE所成角的大小．
（1）根据直线与平面平行的判定定理可知：需在平面PCE中寻找一条平行于AF的直线，平行主要依据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等． 此题中取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，易证四边形AEGF是平行四边形．
（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．因为EG⊥平面PCD，所以平面PCD内，过F作FH⊥PC于H，由于平面PCD∩平面PCE=PC，则FH的长就是点F到平面PCE的距离．
（3）线面角大小的度量关键在于作出垂直于面的垂线，此题中由（2）可知：∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角．
解法二：
分别以AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
（1）取PC的中点G，连接EG，则(
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| AF |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| EG |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| AF |
| EG |
（2）设平面PCE的法向量为
| n |
| EP |
| ||
| 2 |
| EC |
| ||
| 2 |
| n |
| 6， |
（3）因为
| FC |
| 6 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解答：
解：法一：
（I）取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，
则FG∥
CD．
又由已知有AE∥
CD，∴FG∥AE．
∴四边形AEGF是平行四边形．
∴AF∥EG．又AF平面PCE，EG⊆平面PCE．
∴AF∥平面PCE；（5分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD
由ABCD是矩形有CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD
∴AF⊥CD，又PA=AD=3，F是PD的中点
∴AF⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
由EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD
∴平面PCD内，过F作FH⊥PC于H
由于平面PCD∩平面PCE=PC，
则FH的长就是点F到平面PCE的距离（8分）
由已知可得PD=3
，PF=
，PC=2
由于CD⊥平面PAD
∴∠CPD=30°
∴FH=
PF=
∴点F到平面PCE的距离为
；（10分）
（III）由（II）知∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角
.在Rt△CDF中，CD=
，FD=
∴FC=
=
∴sinFCH=
=
∴直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin
．（14分）
法二：
如图建立空间直角坐标系A-xyz
A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），
E（
，0，0），F（0，
，
），C（
，3，0）（2分）
（I）取PC的中点G，连接EG，
则(
，
，
)．∵
=(0，
，
)，
=(0，
，
)
∴
∥
即AF∥EG又AF平面PCE，EG⊆平面PCE
∴AF∥平面PCE．（6分）
（II）设平面PCE的法向量为
=(x，y，z)，
=(-
，0，3)，
=(
，3，0)．
即
取y=-1，得
=(
-1，1)
又
=(0，
，-
)故点F到平面PCE的距离为
d=
=
=
．（10分）
（III）
=(
，
，-
)，
|cos＜
＞|=
=
=
．
∴直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin
．（14分）
解：法一：（I）取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，
则FG∥
| 1 |
| 2 |
又由已知有AE∥
| 1 |
| 2 |
∴四边形AEGF是平行四边形．
∴AF∥EG．又AF平面PCE，EG⊆平面PCE．
∴AF∥平面PCE；（5分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD
由ABCD是矩形有CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD
∴AF⊥CD，又PA=AD=3，F是PD的中点
∴AF⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
由EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD
∴平面PCD内，过F作FH⊥PC于H
由于平面PCD∩平面PCE=PC，
则FH的长就是点F到平面PCE的距离（8分）
由已知可得PD=3
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 6 |
由于CD⊥平面PAD
∴∠CPD=30°
∴FH=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
∴点F到平面PCE的距离为
| 3 |
| 4 |
| 2 |
（III）由（II）知∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角
.在Rt△CDF中，CD=
| 6 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
∴FC=
| CD2+FD2 |
| ||
| 2 |
∴sinFCH=
| FH |
| FC |
| ||
| 14 |
∴直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin
| ||
| 14 |
法二：
如图建立空间直角坐标系A-xyz
A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），
E（
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
（I）取PC的中点G，连接EG，
则(
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| AF |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| EG |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| AF |
| EG |
∴AF∥平面PCE．（6分）
（II）设平面PCE的法向量为
| n |
| EP |
| ||
| 2 |
| EC |
| ||
| 2 |
|
|
取y=-1，得
| n |
| 6， |
又
| PF |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
d=
| ||||
|
|
|-
| ||||
2
|
3
| ||
| 4 |
（III）
| FC |
| 6 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
|cos＜
| FC， |
| n |
|
| ||||
|
|
| 3 | ||||||||
|
| ||
| 14 |
∴直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin
| 21 |
| 14 |
点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，线面关系、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．
练习册系列答案
黄冈天天练口算题卡系列答案
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