Question

设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x），对定义域内x恒成立可求得c值，再利用条件列出关于a，b的关系结合a，b，c都是整数即可解决．
（2）利用常见函数y=x+

1

x

的单调性先判断单调性，再利用单调性定义进行证明．

解答：解：（1）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数，
得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

?-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，即c=0．
又

f(1)=2 f(2)＜3

?

a+1 b =2① 4a+1 2b ＜3②

由①得a=2b-1代入②得

2b-3

2b

＜0?0＜b＜

3

2

，又a，b，c是整数，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．以下用定义证明．
设x₁＜x₂≤-1，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）
=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0．
f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用和函数单调性的判断与证明，属于中档题．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．