Question

已知函数f（x）=ax-

b

x

-2lnx，f（1）=0若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，若a₁≥3，求证：a_n≥n+2

Answer 1

分析：先利用导数的几何意义求出数列的递推公式，再证之．

解答：解：x＞0，f（1）=a-b=0，∴a=b，f^′（x）=a+

a

x2

-

2

x

，
∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，
∴f^′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1
∴f^′（x）=(

1

x

-1)2，a_n+1=a_n²-na_n+1
下面用数学归纳法证明：
（Ⅰ） 当n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：a_k≥k+2，
a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2成立
根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立

点评：本题主要考查数学归纳法，在证明a_k+1≥（k+1）+2成立时，要明确要证的目标，应用假设的结论．