Question

数列{a_n}中，a₁＝－，当n>1，n∈N_＋时，S_n＋＝a_n－2，

(1)求S₁，S₂，S₃的值；

(2)猜想S_n的表达式，并证明你的猜想.

Answer 1

【解析】(1)当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，

∴S_n＋＝S_n－S_n－1－2，

∴S_n＝－(n≥2).

∴S₁＝a₁＝－，S₂＝－＝－，S₃＝－＝－.

(2)猜想S_n＝－，下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，S₁＝－＝－，猜想正确；

②假设当n＝k时猜想正确，即S_k＝－，

那么当n＝k＋1时，S_k＋1＝－＝－

＝－，

即当n＝k＋1时猜想也正确.

根据①、②可知，对任意n∈N_＋，都有S_n＝－.