题目内容

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，设向量 $数学公式$ =（sinx，2）， $数学公式$ =（2sinx， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cos2x，1）， $数学公式$ =（1，2）．
（1）分别求 $数学公式$ 的取值范围；
（2）当x∈[0，π]时，求不等式f（ $数学公式$ ）＞f（ $数学公式$ ）的解集．

解：（1） $\text{[math]}$ =2sin²x+1≥1 $\text{[math]}$ =2cos²x+2≥1
（2）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）图象关于x=1对称
当二次项系数m＞0时，f（x）在（1，+∞）内单调递增，
由f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）? $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，即2sin²x+1＞2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈ $\text{[math]}$
当二次项系数m＜0时，f（x）在（1，+∞）内单调递减，
由f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）? $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，即2sin²x+1＜2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈ $\text{[math]}$ 、
故当m＞0时不等式的解集为（ $\text{[math]}$ ）；当m＜0时不等式的解集为 $\text{[math]}$
分析：（1）根据向量的坐标运算公式即可求得 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）由f （1-x）=f （1+x）可得f（x）图象关于x=1对称，结合f（x）为二次函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 均在二次函数f（x）对称轴右侧，可对其开口方向分类讨论，结合其对应的单调情况求 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查复合三角函数的单调性，关键在于确定好 $\text{[math]}$ 后，对二次函数f（x）的开口分类讨论，从而利用其单调性解决问题，属于中档题．