Question

（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x₁，x₂?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点
?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，
∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
∵，f′（x₁）=lnx₁+1﹣2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1﹣2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁﹣ax₁）=x₁（2ax₁﹣1﹣ax₁）=x₁（ax₁﹣1）＜x₁（﹣ax₁）=＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂﹣ax₂）=x₂（ax₂﹣1）＞=﹣．（）．
故选D．