Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．

（1）若在线段上，是的中点，证明：；

（2）若△的面积是△的面积的两倍，求中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题设，设：，：，则，且，，，，，利用斜率公式计算；（2）由三角形面积关系得，再由当与轴不垂直时，，可得（）即，检验与轴垂直时也成立．

试题解析：由题设，设：，：，则，且，，，，．

记过，两点的直线为，则的方程为．

（1）由于在线段上，故，

记的斜率为，的斜率为，

则，

∴．

（2）设与轴的交点为，

则，，

由题设可得，

所以（舍去），．

设满足条件的的中点为，

当与轴不垂直时，由，可得（）．

而所以（）．

当与轴垂直时，与重合，

所以所求轨迹方程为．