题目内容

已知0＜α＜ $数学公式$ ＜β＜π且sin（α+β）= $数学公式$ ，tan $数学公式$ = $数学公式$ ．
（1）求cosα的值；
（2）证明：sinβ $数学公式$ ．

解：（1）将tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 代入tanα= $\text{[math]}$ 得：tanα= $\text{[math]}$ （4分）
所以 $\text{[math]}$ ，又α∈（0， $\text{[math]}$ ），
解得cosα= $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）证明：∵0＜α＜ $\text{[math]}$ ＜β＜π，
∴ $\text{[math]}$ ＜α+β＜ $\text{[math]}$ ，又sin（α+β）= $\text{[math]}$ ，
所以cos（α+β）=- $\text{[math]}$ ，（8分）
由（1）可得sinα= $\text{[math]}$ ，（10分）
所以sinβ=sin[（α+β）-α]= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）利用二倍角的正切公式可求得tanα，结合0＜α＜ $\text{[math]}$ 即可求得cosα的值；
（2）由于β=（α+β）-α，利用两角差的正弦结合已知即可求得sinβ的值，从而使结论得证．
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，考查两角和与差的正弦，考查分析与运算能力，属于中档题．