Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量．

（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）设曲线在矩阵的作用下得到的方程为，求曲线的方程．

（2）(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），若圆在以该直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点是曲线上的动点，点是圆上的动点，求的最小值．

（3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

已知函数_，不等式在上恒成立．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．

Answer 1

（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．

解：（Ⅰ）=，∴

解得∴.                         …………………4分

（Ⅱ）设点为曲线上的任一点，它在矩阵的作用下得到的点为，

则，所以

代入得，

所以所求的曲线方程为.     .…………………………7分

（2）本题主要考查直线和圆的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．

解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，

圆的直角坐标方程为.                …………………4分（Ⅱ）求的最小值可转化为求的最小值.

过圆心作射线的垂线，垂足在该射线的反向延长线上，

当点在射线的端点时，，

此时的长最小，故此时取最小值.

所以所求的最短距离为.                       …………………7分

（3）本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分．

解：（Ⅰ），

.                                    …………………2分

不等式在R上恒成立，

， 的取值范围为.            …………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

由柯西不等式得：，

.                                …………………5分

当且仅当即时，

的最大值为.                         …………………7分