题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD的夹角为30°．
（1）求平面PCE与平面CED夹角的大小；
（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．

解：（1）取AD的中点O，连接PO．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD
以O为原点，过O作AB平行线为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连OC，

则∠PCO为PC与面ABCD所成角
∴∠PCO=30°
设AD=2a，则PO= $\text{[math]}$ a，∴OC=3a，∴CD=2 $\text{[math]}$ a
∴P（0，0， $\text{[math]}$ a），C（2 $\text{[math]}$ a，a，0），E（ $\text{[math]}$ a，-a，0）
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ a，-a，- $\text{[math]}$ a）， $\text{[math]}$ =（2 $\text{[math]}$ a，a，- $\text{[math]}$ a），
设平面PCE的法向量为 $\text{[math]}$ =（1，y，z），则 $\text{[math]}$
∴y= $\text{[math]}$ ，z= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
又面DEC的法向量为 $\text{[math]}$ =（0，0， $\text{[math]}$ a）
∴cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴平面PCE与平面CED夹角的大小为45°
（2）∵D（0，a，0），∴ $\text{[math]}$ =（-2 $\text{[math]}$ a，0，0）
∴点D到平面PCE的距离为d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵点D到平面PCE的距离为2
∴ $\text{[math]}$ =2，∴a= $\text{[math]}$
∴AD=2a= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，以O为原点，过O作AB平行线为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连OC．求出平面PCE的法向量、面DEC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PCE与平面CED夹角的大小；
（2）利用点D到平面PCE的距离为2，求出D的坐标，即可，求得AD的长．
点评：本题考查面面角，考查点到面的距离的计算，考查向量知识的运用，求得平面的法向量是关键．