Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b${\;}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，可得S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n$．利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1；当n=1时，a₁=S₁，即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n$-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）]$=n+1；
当n=1时，a₁=S₁=2，适合上式，∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$2+\frac{3}{2}+\frac{4}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=2+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$6-\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、函数关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．