Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，，则不等式x²f（x）＞0的解集是    ．

Answer 1

【答案】分析：当x＞0时，根据已知条件中，我们不难判断函数f（x）的导函数f'（x）的符号，由此不难求出函数的单调性，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，及f（1）=0，我们可以给出各个区间f（x）的符号，由此不难给出不等式x²f（x）＞0的解集．
解答：解：由，即[]′＞0；
则在（0，+∞）为增函数，且当x=1时，有=f（1）=0；
故函数在（0，1）有＜0，又有x＞0，则此时f（x）＜0，
同理，函数在（1，+∞）有＞0，又有x＞0，则此时f（x）＞0，
故又由函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴当x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0
当x∈（-1，0）时，f（x）＞0；
而x²f（x）＞0?f（x）＞0，
故不等式x²f（x）＞0的解集为：（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）
点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．