题目内容

对于在区间 [ m，n ] 上有意义的两个函数与，如果对任意，均有，则称与在 [ m，n ] 上是友好的，否则称与在 [ m，n ]是不友好的．现有两个函数与（a > 0且），给定区间．

若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；

讨论与在给定区间上是否友好．

 

【答案】

 (1)

(2) 当时，在上是友好的

  当时，在上是不友好的

【解析】本试题主要是考查了新定义函数是不是友好的，理解概念，并能利用概念来分析新函数是否满足题意，如果满足了，需要求解参数的范围的综合运用。

（1）由题，，又在上有意义

所以，得到参数a的取值范围。

（2）在上是友好的，利用等价转化思想得到

对任意的恒成立

那么研究函数的最值得到。

解：(1) 由题，

又在上有意义

∴

(2) 在上是友好的

对任意的恒成立

现设，

由(1)问知，的对称轴，在区间的左边

∴

∴当时，在上是友好的

  当时，在上是不友好的

 

练习册系列答案
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对于在区间[a，b]上有意义的两个函数m（x）与n（x），如果对于区间[a，b]中的任意x均有|m（x）-n（x）|≤1，则称m（x）与n（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，若函数m（x）=x2-3x+4与n（x）=2x-3在区间[a，b]上是“密切函数”，则b-a的最大值为
 
．
已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正的常数）．
（1）求证函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在x=
π
3
处有极值
①对于一切x∈[0，
π
2
]，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间（
m-1
3
π，
2m-1
3
π)上单调递增，求实数m的取值范围．
（2006•东城区三模）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的．若函数y=x2-2x+3与函数y=3x-2在区间[m，n]上是接近的，给出如下区间①[1，4]②[1，3]③[1，2]∪[3，4]④[1，
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]∪[3，4]，则区间[m，n]可以是
③、④
③、④
．（把你认为正确的序号都填上）
（2010•江西模拟）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，若函数f（x）=x2-2x+3与g（x）=3x-2在区间[m，n]上是接近的，给出如下区间：（1）[1，4]（2）[1，2]（3）[1，2]∪[3，4]（4）[1，
32
]∪[3，4]，则区间[m，n]可以是
（2）（3）（4）
（2）（3）（4）
（把你认为正确的序号都填上）
对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=loga（x-2a）与f2(x)=loga
1x-a
，（a＞0，且a≠1），给定区间[a+1，a+2]
（1）若f1（x）与f2（x）在区间[a+1，a+2]上都有意义，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，讨论f1（x）与f2（x）在区间[a+1，a+2]上是否是接近的．

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