Question

已知函数f(x)=ln

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明f(x)=ln

x+1

x-1

在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于x∈[2，6]f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的真数一定要大于0可求其定义域，将-x代入函数f（x）可知f（-x）=-f（x），故为奇函数．
（2）f（x）是以e＞1为底数的对数函数，根据单调性可得

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

＞0，即0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立，进而可求m的范围．

解答：解：（Ⅰ）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，
f(-x)=ln

-x+1

-x-1

=ln

x-1

x+1

=ln(

x+1

x-1

)-1=-ln

x+1

x-1

=-f(x)
∴f(x)=ln

x+1

x-1

在定义域上是奇函数．
（Ⅱ）由x∈[2，6]时，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

＞0，∵x∈[2，6]
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，
x∈[2，6]时，g（x）_min=g（6）=7．
∴0＜m＜7．

点评：本题主要考查对数函数的基本性质，即真数大于0、当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．