Question

（2012•泉州模拟）设函数f（x）=ln|x|-x²+ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）若x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，且x1+x2=-

1

2

，试求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x₀，f（x₀））（x₀为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，分类讨论，将函数化简，再求导函数即可；
（Ⅱ）根据x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，利用韦达定理，可求a的值，即得到函数解析式，求导函数，利用f'（x）≥0，可得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）确定切线l的方程，再构造新函数g（x），求导数，确定函数的单调性与极值，从而函数f（x）=ln|x|-x²+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于g（x）≤0对x≠0恒成立，即只需g（x₀）≤0和g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0，由此可得x₀的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=ln|x|-x²+ax的定义域为{x|x∈R，x≠0}．
当x＞0时，f（x）=lnx-x²+ax，∴f′(x)=

1

x

-2x+a；  …（1分）
当x＜0时，f（x）=ln（-x）-x²+ax，∴f′(x)=

1

x

-2x+a； …（3分）
综上可得 f′(x)=

1

x

-2x+a(x≠0)．…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，
∴x₁、x₂为方程-2x²+ax+1=0的两根，所以x1+x2=

a

2

，
又∵x1+x2=-

1

2

，∴a=-1．…（5分）
此时，f′(x)=

-2x2-x+1

x

=

-(2x-1)(x+1)

x

，
由f'（x）≥0得

(2x-1)(x+1)

x

≤0，
当x＞0时，(2x-1)(x+1)≤0，-1≤x＜

1

2

，此时0＜x≤

1

2

；
当x＜0时，（2x-1）（x+1）≥0，∴x≤-1或x≥

1

2

，此时x≤-1．
∴当f'（x）≥0时，x≤-1或0＜x≤

1

2

．…（7分）
当f'（x）≤0时，同理解得-1≤x＜0或x≥

1

2

．…（8分）
综上可知a=-1满足题意，且函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]和(0，

1

2

]．…（9分）
（Ⅲ）∵f′(x0)=

1

x0

-2x0+a，又C(x0，ln|x0|-x02+ax0)，
∴切线l的方程为y-(ln|x0|-x02+ax0)=(

1

x0

-2x0+a)(x-x0)，
即y=(

1

x0

-2x0+a)x-1+x02+ln|x0|（x₀为常数）．…（10分）
令g(x)=f(x)-((

1

x0

-2x0+a)x-1+x02+ln|x0|)=ln|x|-x2-((

1

x0

-2x0)x-1+x02+ln|x0|)，g′(x)=

1

x

-2x-(

1

x0

-2x0)=-(x-x0)(

2xx0+1

xx0

)=-

2(x-x0)(x+ 1 2x0 )

x

，（11分）
当x₀＞0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：

x	(-∞，- 1 2x0 )	- 1 2x0	(- 1 2x0 ，0)	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g'（x）	+	0	-	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘	↗	极大值	↘

当x₀＜0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，0）	(0，- 1 2x0 )	- 1 2x0	(- 1 2x0 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘	↗	极大值	↘

函数f（x）=ln|x|-x²+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，
等价于g（x）≤0对x≠0恒成立．
∴只需g（x₀）≤0和g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0同时成立．…（12分）
∵g（x₀）=0，∴只需g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0．
下面研究函数m(x)=lnx+

x

2

-

1

2x

(x＞0)，
∵m′(x)=

1

x

+

1

2

+

1

2

•

1

x2

=

(x+1)2

2x2

＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，
注意到m（1）=0，∴当且仅当0＜x≤1时，m（x）≤0．…（13分）
∴当且仅当0＜

1

2x02

≤1时，g(-

1

2x0

)≤0，
由0＜

1

2x02

≤1解得x0≥

2

2

或x0≤-

2

2

．
∴x₀的取值范围是(-∞，-

2

2

]∪[

2

2

，+∞)．…（14分）

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．