Question

【题目】已知函数，当，时，的值域为，，当，时，的值域为，，依此类推，一般地，当，时，的值域为，，其中、为常数，且，．

（1）若，求数列，的通项公式；

（2）若，问是否存在常数，使得数列满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，设数列，的前项和分别为，，求．

Answer 1

【答案】（1）an=（n﹣1）m，bn=1+（n﹣1）m；（2）存在， k=；（3）

【解析】

（1）由递增，可得值域，进而得到，，由等差数列的通项公式，即可得到所求；

（2）由单调性求得的值域，，则，再由，运用等比数列的定义和通项公式，即可得到结论；

（3）运用函数的单调性，可得的值域，由作差，运用等比数列的定义和通项公式，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求．

解：（1）因为，当，时，为递增函数，

所以其值域为，，

于是，，

又，，则，；

（2）因为，，当，时，单调递增，

所以的值域为，，

由，则；

法一：假设存在常数，使得数列，得，则符合．

法二：假设存在常数，使得数列满足，当不符合．

当时，，，

则，

当时，，解得符合，

（3）因为，当，时，为递减函数，

所以的值域为，，

于是，，，

则，

因此是以为公比的等比数列，

又则有，

进而有．