Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足2f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）在2f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)中，令x=1，求得f（1）的值；
（2）由2f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)①，用

1

x

代替x得②，①、②联立求得f（x）的解析式．

解答：解：（1）∵定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）
满足2f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)，
∴当x=1时，2f（1）+f（1）=-1+2log₂（1+1），
∴3f（1）=-1+2，
∴f（1）=

1

3

；
（2）∵2f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)…①，
用

1

x

来代替x得 2f(

1

x

)+f(x)=-1+2log2(x2+

1

x2

)…②，
①×2-②得3f（x）=-1+2log₂（x²+

1

x2

），
∴f（x）=-

1

3

+

2

3

log₂（x²+

1

x2

）；
即得f（x）的解析式．

点评：本题考查了求函数的值与函数解析式的问题，是基础题．