Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D、E分别是棱C₁C、B₁C₁的中点．

(1)求点B到平面A₁C₁CA的距离；

(2)求二面角B－A₁D－A的大小；

(3)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解一(综合几何法，A版本) 　　(1)∵是直三棱柱，∴底面ABC 　　∴　　　　　　　1分 　　∵，∴平面　　　　　　　　3分 　　∵BC=2　∴点B到平面的距离为2　　　　　　　4分 　　(2)分别延长、交于点G，过C作于M，连结BM　　　5　分 　　∵平面，∴CM为BM在平面内的射影， 　　∴为二面角的平面角　　　　　　　　　　6分 　　在平面中，∵，D为的中点 　　∴，，在直角中， 　　∴，即二面角的大小为　　　　8分 　　(3)在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面，其位置为AC的中点　9分 　　证明如下： 　　∵是直三棱柱，∴∥ 　　由(1)，知平面，∴⊥平面， 　　∴EF在平面内的射影为 　　∵F为AC的中点　∴　　　∴　　　　11分 　　同理可证　　∴平面 　　∵E为定点，平面为定平面　　∴点F唯一　　　　　12分 　　解二(向量法，B版本) 　　(1)同解一 　　(2)在直三棱柱中，，分别以向量、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，D、E分别是棱、的中点，得C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，2)， 　　(0，2，2)，D(0，0，1)，E(1，0，2)　　　　　5分 　　∴，0，1)，，2，2)，设平面的一个法向量为，则 　　　即 　　解得，，即，，2)　　　　　　　　　　　6分 　　又平面的一个法向量为(1，0，0) 　　∴＜，＞=， 　　即二面角的大小为　　　　　　　8分 　　(3)若在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面，设F(0，，0)，要使EF⊥平面，由(2)知，当且仅当∥ 　　∵=(1，，2)　∴ 　　∴存在唯一的一点F(0，1，0)满足条件，即点F为AC的中点．　　　　12分