Question

设数列{a_n}是等比数列，a₁=C_2m^3m-2•P_m-1¹（m∈N^*），公比q是(x+

1

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求常数m的值；
（2）用n、x表示数列{a_n}的前项和S_n；
（3）若T_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n、x表示T_n．

Answer 1

分析：（1）在确定参数m值时，需要讨论排列数、组合数的性质，此处为：

2m≥3m-2 m-1≥1

，可得m=2；
（2）根据二项展开式的通项公式，另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意，即按x的降幂排列，可以求出展开式中的第二项为T2=T 1+1=

C

1 4

x 3

1

4x 2

=x，说明公式q=x，在此基础上再结合（1）就不难求出用n、x表示数列{a_n}的通项和前项和S_n；
（3）在（1）中求得前n项和S_n的基础上要分两类x=1和x≠1来解答，当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式T_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n=0•C_n⁰+1•C_n¹+2•C_n²+3•C_n³+…+n•C_nⁿ，联想组合数的性质C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ，很容易构造出解答T_n的式子及方法．当x≠1时要分两组式子分别计算得到T_n的值．

解答：解：（1）由排列数、组合数的性质，得到不等式：

2m≥3m-2 m-1≥1

，可得2≤m≤2
∴m=2；
（2）由（1）知m=2，
由 (x+

1

4x2

)4的展开式中的同项公式知 T2=

C

1 4

x4-1(

1

4x2

)=x，

∴a_n=x^n-1
∴由等比数列的求和公式得：Sn=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

 
（3）当x=1时，S_n=n，
所以：T_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵T_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，
∴上两式相加得：2T_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴T_n=n•2^n-1，
当x≠1时，Sn=

1-xn

1-x

，
所以有：
 Tn=

1-x

1-x

C

1 n

+

1-x2

1-x

C

2 n

+… +

1-x n

1-x

C

n n

 

= 1 1-x [( C 1 n + C 2 n +…+ C n n )-(x C 1 n +x2 C 2 n +…+xn C n n )]

 

= 1 1-x [2n-(1+x)n]，

∴Tn=

n•2n-1，x=1 2n-(1+x)n 1-x ，x≠1

点评：本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法，二项式定理的内容．公比为参数x的等比数列前n项和的讨论．对于二项式定理的展开应用，本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列，忽略这一点将导致错误．