Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c(n∈N*)，其中a，c为实数，且c≠0，
(Ⅰ)求证：a≠1时数列{a_n-1}是等比数列，并求a_n；
(Ⅱ)设a=，c=，b_n=n(1-a_n)(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n；
(Ⅲ)设(n∈N*)，记d_2n=c_2n-c_2n-1(n∈N*)，设数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜。

Answer 1

解：(Ⅰ)∵，
a≠1时数列{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，
∴，即；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，当时，，
∴，
，
两式作差得，，

，
∴；
(Ⅲ)，
，

。