题目内容

已知函数（x＞0）。
（1）试确定函数f（x）的单调区间，并证明你的结论；
（2）若x1≥1，x2≥1，证明：|f（x1）-f（x2）|＜1。
解：（1）函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，在区间 [1，+∞）上是减函数。
设
则
∵
同理
又
∴
①当时，
即
∴
∴函数f（x）在区间（0，1]上是增函数；
②当时，
即
∴
∴函数f（x）在区间（0，1]上是减函数
综上所述函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数。
（2）由（1）可知，函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，
∵
∴
f（x2）≤f（1）=1，
又
∴f（x1）＞0，f（x2）＞0，即得
0＜f（x1）≤1，0＜f（x2）≤1
∴-1＜f（x1）-f（x2）＜1，
∴ |f（x1）-f（x2）|＜1。
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
|lgx|(0＜x＜10)
(x-20)2
100
(x≥10)
，若a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是
（300，400）
（300，400）
．
（2012•湛江一模）已知函数f（x）的图象是在[a，b]上连续不断的曲线，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)=2sinx(0≤x≤
π
2
)．
（1）求f1（x），f2（x）的表达式；
（2）判断f（x）是否为[0，
π
2
]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由．
（2011•临沂二模）已知函数y=
x
（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2-x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞b的概率是（　　）

（08年周至二中三模理） 已知函数f (x)（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若，则 （   ）       

（A）    （B）

（C）     （D）前三个判断都不正确

(14分)已知函数,（ x>0）．

（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；

（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]

(m≠0),求m的取值范围．

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