题目内容
a，b，c∈R+，求证：（a+1）（b+1）（a+c）3（b+c）3≥256a2b2c3．分析：根据均值不等式：a+1≥2
及b+1≥2
，又由（a+c）3≥（ 2
）3=8ac
，即（a+c）3≥8ac
，（b+c）3≥（ 2
）3=8bc
，即：（b+c）3≥8bc
，将这4个同向不等式相乘得：要证的不等式．
| a |
| b |
| ac |
| ac |
| ac |
| bc |
| bc |
| bc |
解答：解：∵a，b，c∈R+，
∴a+1≥2
①，
b+1≥2
②，
∵a+c≥2
∴（a+c）3≥8ac
③，
∵b+c≥2
∴（b+c）3≥=8bc
④，
将①②③④这4个同向不等式相乘得：
（a+1）（b+1）（a+c）3（b+c）3≥2
•2
•8ac
•8bc
即：（a+1）（b+1）（a+c）3（b+c）3≥256a2b2c3．
∴a+1≥2
| a |
b+1≥2
| b |
∵a+c≥2
| ac |
∴（a+c）3≥8ac
| ac |
∵b+c≥2
| bc |
∴（b+c）3≥=8bc
| bc |
将①②③④这4个同向不等式相乘得：
（a+1）（b+1）（a+c）3（b+c）3≥2
| a |
| b |
| ac |
| bc |
即：（a+1）（b+1）（a+c）3（b+c）3≥256a2b2c3．
点评：本题考查均值不等式：a+b≥2ab，及关于正数的不等式的同向相乘性．
练习册系列答案
相关题目