题目内容

已知一扇形的面积S为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？

解：设半径是r，圆心角是θ
则S= $\text{[math]}$
θ= $\text{[math]}$
周长=2r+rθ=2r+ $\text{[math]}$ ≥4 $\text{[math]}$
当2r= $\text{[math]}$
即r²=S时取等号，此时θ= $\text{[math]}$ =2
∴当扇形的圆心角为2rad时，
它的周长最小，最小值是4 $\text{[math]}$ ．
分析：设出半径和圆心角，根据扇形的面积公式写出θ的表示式，根据扇形的周长包括两个半径和一个弧长，把角的表示式代入，利用基本不等式得到最小值，并求出取到最小值时的圆心角．
点评：本题考查扇形的面积公式，考查利用基本不等式求函数的最小值，考查扇形的面积，扇形的弧长和扇形的圆心角之间的关系，是一个综合题目．