Question

在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若c=

6

，A=45°，a=2，求C、b；
（Ⅱ）若sinA：sinB=

2

：1，c2=b2+

2

bc，求A、B、C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得sinC的值，可得C的值．再利用正弦定理求得b的值．
（Ⅱ）由sinA：sinB=

2

：1，可得a=

2

b．利用余弦定理求得cosA=

2

2

，可得A=45°，从而求得sinB=

1

2

，可得B的值，利用三角形内角和公式求得C．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

sinA

=

c

sinC

，∴sinC=

csinA

a

=

6 ×sin45°

2

=

3

2

，∴C=60°或120°，---（2分）
∴当C=60°时，B=75°，b=

csinB

sinC

=

6 sin75°

sin60°

=

3

+1；-------（4分）
∴当C=120°时，B=15°，b=

csinB

sinC

=

6 sin15°

sin60°

=

3

-1；-------（6分）
所以，b=

3

+1，C=60°，或b=

3

-1，C=120°．------（7分）
（Ⅱ）∵sinA：sinB=

2

：1，∴a=

2

b．-----------（8分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-2b2

2bc

=

c2-b2

2bc

=

2 bc

2bc

=

2

2

，----（10分）
∴A=45°，------（11分）
∴sinB=

1

2

．-------（12分）
∵a=

2

b，∴b＜a，B＜A，------（13分）
∴B=30°，C=105°．------（14分）

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．