Question

已知圆C过点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
（1）求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）若∠MAN=45°，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆C的圆心为C（x，y），圆的半径 r=

x2+(y-a)2

，由圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求
（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圆C的圆心为（x₀，y₀），则有x₀²=2ay₀（结合y0=

1

2

|MN|=a可求x₀，r，从而可求圆C的方程

解答：解：（1）设圆C的圆心为C（x，y），
依题意圆的半径   r=

x2+(y-a)2

…（2分）
∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．
∴|y|²+a²=r²
故  x²+（y-a）²=|y|²+a²…（4分）
∴x²=2ay
∴圆C的圆心的轨迹方程为x²=2ay…（6分）
（2）∵∠MAN=45°（3），∴∠MCN=90°（4）…（9分）
令圆C的圆心为（x₀，y₀），则有x₀²=2ay₀（y₀≥0），…（10分）
又∵y0=

1

2

|MN|=a…（11分）
∴x0=±

2

a…（12分）
∴r=

x 2 0 +(y0-a)2

=

2

a…（13分）
∴圆C的方程为  (x±

2

a)2+(y-a)2=2a2…（14分）

点评：本题主要考查了利用圆的性质求解点的轨迹方程及圆的方程的求解，解题的关键是熟练 掌握圆的基本性质