Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
（1）求角B的大小；
（2）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴B=

2

3

π；
（II）将b=

13

，a+c=4，B=

2

3

π代入余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
b²=（a+c）²-2ac-2accosB，即13=16-2ac(1-

1

2

)，
∴ac=3，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

3

．