题目内容
正四棱柱AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系.
（1）求AA1的长；
（2）求〈
,
〉；
（3）对于n个向量a1，a2，…,an，如果存在不全为零的n个实数λ1,λ2,…,λn，使得λ1a1+λ2a2+…+λ2an=0成立，则n个向量a1，a2，…，an叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断
、
、
是否线性相关，并说明理由.
解:（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AA1的长为a，则B（4，4，0）、N（2，2，a）.
∴
=(-2,-2,a).
又A(4,0,0)、M(2,4,),
∴=(-2,4,).
由⊥,得
·
=0,∴4-8+
=0.
∴a=2
，即AA1的长为2
.
（2）可得
=（-2，-2，2 
），
=（-4，0，2
），
∴cos〈
,
〉=
=
.
∴〈
,
〉=arccos
.
（3）由
=（-2，4，
），
=（-2，-2，2
），
=（0，-4，0）,
λ1(-2,4,
)+λ2(-2,-2,2
)+λ3(0,-4,0)=0
λ1=λ2=λ3=0,线性无关.
练习册系列答案
相关题目
E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
C、
D、1
交于点
，连结
，因为
是中点，所以
,且
，所以
，即直线
与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做
于
,则
即为所求距离.因为底面边长为2，高为
，所以
,
,
,所以利用等积法得
，选D. 
