Question

如图，三棱台ABC-A₁B₁C₁的上底△A₁B₁C₁面积为4，下底△ABC面积为9，且三棱锥C-AA₁B₁的体积为9，则三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积为（ ）

A．
B．
C．19
D．18

Answer 1

【答案】分析：由三棱台ABC-A₁B₁C₁的上底△A₁B₁C₁面积为4，下底△ABC面积为9，知．把三棱台ABC-A₁B₁C₁的补成三棱锥V-ABC．设S_△VAB=S，△VAB在三棱锥V-ABC中的高为H，由三棱锥C-AA₁B₁的体积为9，知HS×××=9．所以HS=．三棱锥V-ABC体积===．三棱锥V-A₁B₁C₁体积==12．由此能求出三棱台体积．
解答：解：∵三棱台ABC-A₁B₁C₁的上底△A₁B₁C₁面积为4，下底△ABC面积为9，
∴．
把三棱台ABC-A₁B₁C₁的补成三棱锥V-ABC．
设△VAB的面积S_△VAB=S，三棱锥V-ABC中以△VAB为底面的高为H，
设△VAB的AB边上的高为h，则△AA₁B₁的边A₁B₁上的高为，
∵△VAB的面积S_△VAB=，
∴△AA₁B₁的面积=×h=，
∵三棱锥C-AA₁B₁的体积为9，
三棱锥C-AA₁B₁的高为H，
底面积为S××，
∴（S××）H=9．
∴HS=．
∴三棱锥V-ABC体积===．
三棱锥V-A₁B₁C₁体积==12．
三棱台体积==．
故选A．
点评：本题考查棱台体积的求法，综合性强，难度大，容易出错．解题时要恰当地把把三棱台ABC-A₁B₁C₁的补成三棱锥V-ABC，是正确解题的关键步骤．