Question

函数y=x+

4

x

（x≠0）的值域是

（-∞，-4]∪[4，+∞）

．

Answer 1

分析：由于y′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x -2)(x+2)

x2

，利用y′＞0，可求其单调递增区间，y′＜0，可求其单调递减区间，从而可求其值域．

解答：解；∵由y′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x -2)(x+2)

x2

=0得：x=2或x=-2，
∴当x＞2或x＜2时，y′＞0，即函数y=x+

4

x

（x≠0）在（-∞，-2），（2，+∞）上单调递增；
当-2＜x＜0或0＜x＜2时，y′＜0，即函数y=x+

4

x

（x≠0）在（-2，0），（0，2）上单调递减；
∴当x＜0时，f（x）_极大值=f（-2）=-4，
当x＞0时，f（x）_极小值=f（2）=4，
∴函数y=x+

4

x

（x≠0）的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞）．
故答案为：（-∞，-4]∪[4，+∞）．

点评：本题考查函数的值域，通过求导讨论该函数的单调性与极值是解题的关键，也是难点所在，当然，也可以用基本不等式解决，属于中档题．