Question

（2006•静安区二模）已知无穷等比数列{a_n}（n为正整数）的首项a₁=

1

2

，公比q=

1

2

．设T_n=a₁²+a₃²+…+a_2n-1²，则

lim

n→+∞

Tn=

4

15

．

Answer 1

分析：由题意求得a_n=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，利用等比数列的求和公式求得T_n =

4

15

[1-(

1

16

)n]，再利用数列极限的运算法则求得 

lim

n→+∞

Tn 的值．

解答：解：由题意可得a_n=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
T_n=a₁²+a₃²+…+a_2n-1² =

1

4

+(

1

4

)3+(

1

4

)5+…+(

1

4

)2n-1=

1 4 [1-( 1 16 )n]

1- 1 16

=

4

15

[1-(

1

16

)n]，
故有

lim

n→+∞

Tn=

lim

n→∞

 

4

15

[1-(

1

16

)n]=

4

15

，
故答案为

4

15

．

点评：本题主要考查等比数列的求和公式、数列极限的运算法则的应用，属于中档题．