Question

已知数列{a_n}是首项为a₁，各项均为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且有5S₂=4S₄．
（1）求数列{a_n}的公比q；
（2）设b_n=q+S_n，试问{b_n}是否为等比数列？若是求出a₁的值；若不是说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定q≠1，再利用等比数列的求和公式，可求数列{a_n}的公比q；
（2）假设存在，表示出b_n，利用b₁，b₂，b₃成等比数列，求出a₁，与条件比较可得结论．

解答：解：（1）若q=1，5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，不满足5S₂=4S₄，故q≠1…（2分）
由5S₂=4S₄得5

a1(1-q2)

1-q

=4

a1(1-q4)

1-q

，1+q2=

5

4

，q2=

1

4

，
∵a_n＞0，∴q=

1

2

…（5分）
（2）假设满足条件的等比数列{b_n}存在．
由（1）得Sn=

a1[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2a1[1-(

1

2

)n]，∴bn=

1

2

+2a1[1-(

1

2

)n]，…（8分）
∵{b_n}是等比数列，∴b₁，b₂，b₃成等比数列，∴

b

2 2

=b1b3
即(

3

2

a1+

1

2

)2=(a1+

1

2

)(

7

4

a1+

1

2

)，整理得4

a

2 1

+a1=0，得a1=0或a1=-

1

4

…（11分）
这与数列{a_n}各项均为正数矛盾，故数列{b_n}不存在．…（12分）

点评：本题考查等比数列的求和，考查学生的计算能力，正确运用等比数列的通项与求和公式是关键．