Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂，a_m、a_k、a_h都是数列{a_n}中满足a_h-a_k=a_k-a_m的任意项．
（Ⅰ）证明：m+h=2k；
（Ⅱ）证明：S_m•S_h≤S_k²；
（III）若

Sm

、

Sk

、

Sh

也成等差数列，且a₁=2，求数列{

1

Sn-S1

}(n∈N*，n≥3)的前n项和Tn＜

5

24

．

Answer 1

（I）设数列{a_n}的公差为d，由题意a₁＜0，d＞0．
∵a_h-a_k=a_k-a_m，∴（h-k）d=（k-m）d，∴m+h=2k．…（2分）
（II）Sm•Sh=

m(a1+am)

2

•

h(a1+ah)

2

=

mh

4

(a1+am)(a1+ah)≤

1

4

•[

m+h

2

]2[

a1+am+a1+ah

2

]2=

1

4

(a1+ak)2k2=[

(a1+ak)k

2

]2=

S

2k

，∴S_m•S_h≤S_k²．…（6分）
（III）取m=1，k=2，h=3，显然a₁，a₂，a₃满足a₃-a₂=a₂-a₁．…（7分）
由

Sm

、

Sk

、

Sh

也成等差数列，则

a1

+

3a1+3d

=2

2a1+d

．
两边平方得2

a1(3a1+3d)

=4a1+d，
再两边平方整理得4a₁²-4a₁d+d²=0，即（2a₁-d）₂=0，
∴d=2a₁=4．…（9分）
∴a_n=（2n-1）a，S_n=2n²，
∴

Sn

=

2

n．，显然这时数列{a_n}满足题意．                         …（10分）
∴S_n-S₁=2n²-2=2（n²-1）．
∴

1

Sn-S1

=

1

2

•

1

n2-1

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n+1

)(n∈N*，n≥3．)…（12分）
则Tn=

1

4

(

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

)=

1

4

(

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

[

5

6

-

2n+1

n(n+1)

]＜

5

24

．…（14分）