Question

【题目】已知函数在区间上有最大值0，最小值，

（1）求实数的值；

（2）若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围；

（3）若，如果对任意都有，试求实数a的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由二次函数性质可知在区间上单调递增，从而得，解方程组求解即可；

（2）令，则，转化为关于t的方程在区间上有解，记，由的范围，可得，即可得解；

（3）分析条件可得恒成立，当时，显然成立，当时，转化为恒成立，即恒成立，从而转化为求不等式中函数的最值，即可得解.

（1）因为，为开口向上的抛物线，对称轴为

所以在区间上单调递增，

所以 ，即，解得

（2）因为，得关于x的方程在上有解.

令，则，转化为关于t的方程在区间上有解.

记，易证它在上单调递增，

所以，即，解得.

（3）由条件得，因为对任意都有，即恒成立.

当时，显然成立，

当时，转化为恒成立，

即恒成立.

因为，得，所以当时，取得最大值是，得；

当时，取得最小值是，得

综上可知，a的取值范围是.