Question

已知f(x)＝x³＋x(x∈R)，

(1)判断f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明；

(2)求证：满足f(x)＝a(a为常数)的实数x至多只有一个．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)＝x³＋x在R上是增函数

(2)见解析

【解析】(1)解：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．证明如下：

设x₁＜x₂，即x₁－x₂＜0.

∴f(x₁)－f(x₂)＝(＋x₁)－(＋x₂)

＝(－)＋(x₁－x₂)

＝(x₁－x₂)( ＋x₁x₂＋＋1)

＝(x₁－x₂)[(x₁＋)²＋＋1]＜0.

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)．

因此f(x)＝x³＋x在R上是增函数．

(2)证明：假设x₁＜x₂且f(x₁)＝f(x₂)＝a，由f(x)在R上递增，

∴f(x₁)＜f(x₂)，与f(x₁)＝f(x₂)矛盾．

∴原命题正确．

点评：利用定义判断函数单调性时，通常将作差后的因式变形成因式连乘积的形式、平方和的形式等．在因式连乘积的形式中，一定含有因式“x₁－x₂”，这也是指导我们化简的目标．差的符号是由自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则共同决定的．