Question

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与双曲线C₂的一个交点是M(

3

2

，

6

)．
（1）求抛物线C₁的方程及其焦点F的坐标；
（2）求双曲线C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先设抛物线C₁的方程再把点M(

3

2

，

6

)代入方程即可求出抛物线C₁的方程及其焦点F的坐标；
（2）解一：先利用抛物线的准线经过双曲线一个焦点F₁求出对应焦点坐标和c，再利用点M(

3

2

，

6

)是双曲线上的点，代入双曲线定义2a=|MF₁-MF₂|中求出a就可求出双曲线C₂的方程．
解二：先利用抛物线的准线经过双曲线一个焦点F₁求出对应焦点坐标和c，再利用点M(

3

2

，

6

)是双曲线上的点适合双曲线方程以及a²+b²=c²，求出a²和b²就可求出双曲线C₂的方程．

解答：解：解一：（1）由题意可设抛物线C₁的方程为y²=2px．（2分）
把M(

3

2

，

6

)代入方程为y²=2px，得p=2（4分）
因此，抛物线C₁的方程为y²=4x．（5分）
于是焦点F（1，0）（6分）
（2）抛物线C₁的准线方程为y=-1，
所以，F₁（-1，0）（7分）
而双曲线C₂的另一个焦点为F（1，0），于是2a=|MF1-MF|=|

7

2

-

5

2

|=1
因此，a=

1

2

（9分）
又因为c=1，所以b2=c2-a2=

3

4

．
于是，双曲线C₂的方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．（12分）
解二：（1）同上（6分）
（2）抛物线C₁的准线方程为y=-1，
所以，F₁（-1，0）
而双曲线C₂的另一个焦点为F（1，0），
∵点M(

3

2

，

6

)在双曲线上，∴

9 4 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=1

∴

9

4a2

-

6

1-a2

=1
∴4a⁴-37a²+9=0
∴a²=9（舍去）或a2=

1

4

，从而b2=

3

4

∴双曲线方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（12分）

点评：本题是对抛物线和双曲线的综合问题的考查．在求抛物线和双曲线的标准方程时，一定要看清条件，分析出焦点所在位置在设方程．