Question

已知函数f(x)=lg(x+-2)，其中a为大于零的常数.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若对任意x∈［2,+∞),恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围.

Answer 1

解：(1)由x+-2＞0得＞0

方程x²-2x+a=0的判别式Δ=4(1-a).

当a＞1时Δ＜0,∴x²-2x+a＞0恒成立，故x＞0；

当0＜a≤1时Δ≥0,此时方程x²-2x+a=0的根为x=1±.

且0＜1≤1+,故0＜x＜1或x＞1+.

综上，当a＞1时，函数的定义域为{x|x＞0}；

当0＜a≤1时，函数的定义域为{x|0＜x＜1或x＞1+}.                

(2)当x∈［2,+∞)时，恒有f(x)＞0成立.

即lg(x+-2)＞lg1x+-2＞1a＞3x-x²,对x∈［2,+∞)恒成立.

令h(x)=3x-x²,〔x∈［2,+∞)〕,故h(x)_max=h(2)=2,

故当a＞2时，对任意x∈［2,＋∞)恒有f(x)＞0成立.