Question

已知抛物线C：x²=2my（m＞0）和直线l：y=kx-m没有公共点（其中k、m为常数），动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，且直线MN恒过点Q（k，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O点为原点，连接PQ交抛物线C于A、B两点，证明：S_△OAP•S_△OBQ=S_△OAQ•S_△OBP．

Answer 1

分析：（1）对C的函数求导数，设出两个切点的坐标，求出导函数在切点处的导数值即切线的斜率，利用点斜式写出切线
PM，PN 的方程，将P的坐标代入得到MN的方程，据直线的点斜式判断出MN过的定点，据已知求出抛物线C的方程．
（2）通过分析法将要证的三角形的面积关系转化为交点的坐标问题，设出直线PQ的方程，将直线方程与椭圆方程 联立，利用韦达定理得证．

解答：解：（1）如图，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=

x2

2m

，得y′=

x

m

∴PM的斜率为

x1

m

PM的方程为y=

x1

m

x-y1
同理得PN：y=

x2

m

x-y2
设P（x₀，y₀）代入上式得

y0= x1 m x0-y1 y0= x2 m x0-y2

，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）满足方程y0=

x

m

x0-y                           
故MN的方程为y=

x0

m

x-y0=

x0

m

x-(kx0-m)
上式可化为y-m=

x0

m

(x-mk)，过交点（mk，m）
∵MN过交点Q（k，1），
∴mk=k，m=1
∴C的方程为x²=2y
（2）要证S_△OAP•S_△OBQ=S_△OAQ•S_△OBP，
即证

|PA|

|PB|

=

|QA|

|QB|

设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
则

|PA|

|PB|

-

|QA|

|QB|

=

x3-x0

x4-x0

-

k-x3

x4-k

=

2x3x4-(k+x0)(x3+x4)+2kx0

(x4-x0)(x4-k)

…（Ⅰ）
∵P（x₀，y₀），Q（k，1）
∴PQ直线方程为y-1=

y0-1

x0-k

(x-k)，
与x²=2y联立化简

x 2 0

2

-

y0-1

x0-k

x+

y0k-x0

x0-k

=0
∴x3x4=2•

y0k-x0

x0-k

…①
x3+x4=

2(y0-1)

x0-k

…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
则分子2x3x4-(k+x0)(x3+x4)+2kx0=

4(y0k-x0)

x0-k

-(k+x0)

2(y0-1)

x0-k

+2kx0
=

4y0k-2(y0-1)(k+x0)+2k x 2 0 -2k2x0-4x0

x0-k

…（Ⅱ）
又P点在直线y=kx-1上，
∴y₀=kx₀-1代入Ⅱ中得：
∴

|PA|

|PB|

-

|QA|

|QB|

=

2k x 2 0 -2k-2k x 2 0 +2x0-2x0+2k+2k2x0-2k2x0

x0-k

=0
故得证

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般是设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，然后利用韦达定理找突破口．