Question

已知函数f（x）=，设f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*），若集合M={x∈R|f₂₀₀₉（x）=2x+}，则集合M中的元素个数为

1. A.
   0个
2. B.
   1个
3. C.
   2个
4. D.
   无穷多个

Answer 1

B
分析：根据f_n+1（x）=f[f_n（x）]分别求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x）发现函数列{f_n（x）}是以3为周期的函数列，进而可知f₂₀₀₉（x）=f₂（x），求得x，最后可判断出集合M的元素．
解答：依题意得f₁（x）=，f₂（x）=，f₃（x）=x，f₄（x）=f₁（x），，
即函数列{f_n（x）}是以3为周期的函数列，注意到2009=3×669+2，因此f₂₀₀₉（x）=f₂（x）=．
由=2x+得2x（x+1）=0，又x+1≠0，因此x=0，集合M中的元素个数是1，
故选B．
点评：本题主要考查函数的周期性．解本题关键是找出函数列的周期．