Question

如图，在底面是正方形的四棱锥中，，，点在上，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面.

Answer 1

解：（Ⅰ）正方形边长为1，，，

所以，即，，

因为，

所以平面.                                   

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，.

由（Ⅰ）知为平面的法向量，

，

设平面的法向量为，

由，，

得

令，则，，

所以，                                    

所以，

即所求二面角的余弦值为.                            

（Ⅲ）设，则，

，

若平面，则，即，，

解得，                                           

所以存在满足题意的点，

当是棱的中点时，平面.                 …………12分