Question

（2012•泸州二模）已知双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1，椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、D分别是双曲线和椭圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1，可求A(1，0)，B(

2

，0)，根据|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列，可得C(2，0)，D(2

2

，0)，根据D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），将y=k（x+2）代入

x2

4

+

y2

2

=1整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，可求P的坐标；设Q（x₀，0），x₀≠-2，若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP，从而有

MQ

•

CP

=0，进而可知存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点．

解答：解：（Ⅰ）由已知A是双曲线的右准线与x轴的交点，B为双曲线的右顶点，双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1，
∴A(1，0)，B(

2

，0)
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．
∴C(2，0)，D(2

2

，0)
∵D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，
∴a=2，

a2

c

=2

2

∴a=2，b=c=

2

∴所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），设直线EM的方程为：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵MC⊥CE，∴M（2，4k）
将y=k（x+2）代入

x2

4

+

y2

2

=1整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
∵-2x1=

8k2-4

1+2k2

∴x1=

-4k2+2

1+2k2

∴y1=k(x1+2)=

4k

1+2k2

∴P（

-4k2+2

1+2k2

， 

4k

1+2k2

）
设Q（x₀，0），x₀≠-2
若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP
∴

MQ

•

CP

=0
∵

MQ

=(x0-2，-4k)，

CP

=(

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)
∴

MQ

•

CP

=(x0-2，-4k)• (

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)=0
∴

8k2

1+2k2

×x0 =0
∴x₀=0
∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点．

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是将两直线与椭圆方程联立，将向量关系转化为坐标关系．