Question

已知f（x）是定义域为（0，+∞）的函数，当x∈（0，1）时f（x）＜0．现针对任意正实数x、y，给出下列四个等式：
①f（xy）=f（x） f（y）；
②f（xy）=f（x）+f（y）；
③f（x+y）=f（x）+f（y）；
④f（x+y）=f（x） f（y）．
请选择其中的一个等式作为条件，使得f（x）在（0，+∞）上为增函数．并证明你的结论．

Answer 1

分析：选择的等式代号②．赋值可得f（1）=0，f（ 

1

x

）=-f（x）．设0＜x₁＜x₂，可得f（ 

x1

x2

）＜0，可得f（ 

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，由单调性的定义可得．

解答：解：选择的等式代号是    ②．                      3′
证明：在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），故f（1）=0．  6′
又f（1）=f（x•

1

x

）=f（x）+f（ 

1

x

）=0，f（ 

1

x

）=-f（x）． （※）               9′
设0＜x₁＜x₂，则0＜

x1

x2

＜1，
∵x∈（0，1）时f（x）＜0，∴f（

x1

x2

 ）＜0
又∵f（ 

x1

x2

）=f（x₁）+f（ 

1

x2

），由（※）知f（ 

1

x2

）=-f（x₂）
∴f（ 

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上为增函数．                         14′

点评：本题考抽象函数的单调性和证明，正确赋值是解决问题的关键，属中档题．