Question

已知函数f（x）=2sin（

x

4

+2），如果存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值是（　　）

• A、8π
• B、4π
• C、2π
• D、π

Answer 1

分析：先根据f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）对任意实数x成立，进而可得到x₁、x₂是函数f（x）对应的最大、最小值的x，得到|x₁-x₂|一定是

T

2

的整数倍，然后求出函数f（x）=2sin（

x

4

+2）的最小正周期，根据|x₁-x₂|=n×

T

2

=4nπ可求出求出最小值．

解答：解：∵f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴x₁、x₂是函数f（x）对应的最大、最小值的x，
故|x₁-x₂|一定是

T

2

的整数倍；
∵函数f（x）=2sin（

x

4

+2）的最小正周期T=

2π

1 4

=8π，
∴|x₁-x₂|=n×

T

2

=4nπ（n＞0，且n∈Z），
∴|x₁-x₂|的最小值为4π；
故选：B．

点评：本题考查了求正弦函数的图象与性质的应用问题，解题时应深刻理解题意，灵活应用基础知识．