Question

已知

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，若f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|2．
（I）求函数f（x）的单调减区间；
（II）若x∈[-

π

3

，

π

4

]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）通过向量的数量积与向量的模，求出函数的表达式互为一个角的一个三角函数的形式，借助余弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调减区间；
（II）若x∈[-

π

3

，

π

4

]，求函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（I）因为

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)
      所以，f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|2=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

x

2

sin

3

2

x-(cos

3

2

x+cos

x

2

)2-(sin

3x

2

-sin

x

2

)2
=cos2x-2-2cos2x=-2-cos2x
     由2kπ-π≤2x≤2kπ  k∈Z  可得  kπ-

π

2

≤x≤kπ  k∈Z．
     所以函数的单调减区间为：[kπ-

π

2

，kπ]   k∈Z．
（II）x∈[-

π

3

，

π

4

] 所以 2x∈[-

2π

3

，

π

2

]，cos2x∈[-

3

2

，1]，
所以：-2-cos2x∈[-3，-2+

3

2

]，
所以函数的最大值为：-2+

3

2

；最小值为：-3．

点评：本题是中档题，以向量的数量积，向量的模为载体，考查三角函数的化简求值，三角函数的单调减区间的求法，闭区间上的最值问题，考查计算能力．