Question

函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3ax²+b的最小值为-12
∴b=-12，且a＞0
又直线6x+y+7=0的斜率为-6
∵函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f′	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调增区间是（-∞，-

2

）和(

2

，+∞)
∴f（x）在x=-

2

时取得极大值为f(-

2

)=8

2

，f（x）在x=

2

时取得极小值为f(

2

)=-8

2

∴当m＞8

2

或m＜-8

2

时，方程有一根；
当m=8

2

或m=-8

2

时，方程有两个根；
当-8

2

＜m＜8

2

时，方程有三个根