Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x₀，0）．证明-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

．

Answer 1

分析：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x₁≠x₂．又交点为P（x₀，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x₀关于x₁和x₂的关系式，最后根据x₁和x₂的范围确定x₀的范围．

解答：证明：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x₁≠x₂．又交点为P（x₀，0），故|PA|=|PB|，即
（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²①
∵A、B在椭圆上，
∴

y

2 1

=b2-

b2

a2

x

2 1

，

y

2 2

=b2-

b2

a2

x

2 2

．
将上式代入①，得
2（x₂-x₁）x₀=(

x

2 2

-

x

2 1

)

a2-b2

a2

②
∵x₁≠x₂，可得x0=

x1+x2

2

•

a2-b2

a2

．③
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

．

点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．