Question

已知函数f（x）=kx²+（k-1）x（k为常数）
（1）若k=2，解不等式f（x）＞0；
（2）若k＞0，解不等式f（x）＞0；
（3）若k＞0，且对于任意x∈[1，+∞），总有g（x）=≥1成立，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）若k=2，则不等式f（x）＞0可化为2x²+x＞0，
解之，得{x|x＞0，或x＜-}．
（2）若k＞0，则不等式f（x）＞0可转化为kx•（x-）＞0，
当0＜k＜1时，，此时x＞或x＜0，
当k＞1时，，此时，或x＞0．
当k=0时，f（x）=x²＞0，此时x≠0，
综上所述：当0＜k＜1时，x，
当k＞1时，，此时，，
当k=1时，f（x）=x²＞0，
此时，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
（3）因为k＞0，x＞0，
所以=kx++k-1≥+k-1=2+k-1，
当且仅当kx=（x＞0），即x=时取等号，
又x∈[1，+∞），所以当0＜k≤1时，x=∈[1，+∞），上述等到可以取到．
此时，由2，得k，
∵0＜k≤1，故k∈；
当k＞1，x=∈[1，+∞），上述等号取不到，
此时g（x）=在[1，+∞）上是增函数，
故g（x）_min=g（1）=2k，
由2k≥1，得，∵k＞1，∴k∈[1，+∞），
综上可知∪[1，+∞）=[4-2，+∞）．
分析：（1）若k=2，则不等式f（x）＞0可化为2x²+x＞0，由此能够求出不等式f（x）＞0的解．
（2）若k＞0，则不等式f（x）＞0可转化为kx•（x-）＞0，分0＜k＜1，k＞1，k=0三种情况，能够求出不等式f（x）＞0的解．
（3）因为k＞0，x＞0，所以=kx++k-1≥+k-1=2+k-1，当且仅当kx=（x＞0），即x=时取等号，由此入手能够求出k的取值范围．
点评：本题考查函数的恒成立问题的灵活运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．