Question

【题目】已知函数.

(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;

(2)当时,分别求函数的最小值和的最大值,并证明当时, 成立;

(3)令,当时,判断函数有几个不同的零点并证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）1个

【解析】试题分析：（1）由题意得在上恒成立,根据恒成立问题的解答方法求解;

（2）分别求出函数和的导数,研究出函数的单调性即可求出最值;

根据题意得,可判断出,即在上单调递减,得出函数至多有一个零点,再利用零点存在性定理进行判断.

试题解析：

(1)由题意得在上恒成立,

令,有即,

得,所以.

(2)由题意可得

令,则,

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以当时, 取最小值3， ,令,得,

当在上单调递增,所以,

因为当时, ,

所以当时, .

(3)因为,

所以,

其定义域为,,

因为,所以,所以在上单调递减,

因为,所以,所以，又,所以函数只有1个零点.