Question

选修4-1：几何证明选讲
在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且 ．
求证：BN=2AM．

Answer 1

证明：连接MN，AN
由圆内接四边形的性质定理可得：
∠BNM=∠BAC，∠BMN=∠BCA
∴△BMN∽△BCA
∴BA：AC=BN：MN
又∵
∴MN=BN
∵∠MNA=∠MCA，∠MAN=∠MCN，CM是∠ACB的平分线，
∴∠MNA=∠MAN
∴MN=MA
∴AM=BN
∴BN=2AM
分析：连接MN，AN，结合圆内接四边形的性质定理可证得△BMN∽△BCA，进而根据已知中 ，及相似三角形的性质可得MN=BN，进而根据圆周角定理，及CM是∠ACB的平分线，证得答案．
点评：本题考查的知识点是圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形性质定理，其中判断出△BMN∽△BCA是解答本题的关键．