Question

已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）²+3-2sin²2x．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

π

8

个单位长度得到的，当x∈[0，

π

4

]时，求y=g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为

2

sin(4x+

π

4

)+3，由此求得它的最小正周期及对称中心．
（2）由函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求出g（x）=

2

sin(4x-

π

4

)+3，根据x的范围求出函数的值域．

解答：解：（1）因为f（x）=（sin2x+cos2x）²+3-2sin²2x，=sin4x+cos4x=

2

sin(4x+

π

4

)+3，
所以，函数f（x）的最小正周期

π

2

．
令 4x+

π

4

=kπ，k∈z，解得 x=

kπ

4

-

π

16

，故函数的对称中心为(

kπ

4

-

π

16

，3)(k∈Z)．
（2）依题意得，y=g(x)=

2

sin[4(x-

π

8

)+

π

4

]=

2

sin(4x-

π

4

)+3．
因为0≤x≤

π

4

，所以-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

．
当4x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

16

时，g（x）取最大值为 3+

2

；
当4x-

π

4

=-

π

4

，即x=0，g（x）取最小值为 2，
故所求函数的值域为 [2，3+

2

]．

点评：本题主要考查函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性、周期性，定义域、值域，属于中档题．