Question

函数f （x）=log

1

2

cos(-

1

3

x+

π

4

)的单调递增区间为

(6kπ+

3π

4

，6kπ+

9π

4

)，k∈Z

．

Answer 1

分析：先根据对数的真数必须大于零，求出函数的定义域．为了求出原函数的单调减区间，研究真数对应的余弦型函数的增区间，最后将所得区间与函数的定义域取交集，即可得原函数的单调增区间．

解答：解：∵对数的真数大于零
∴cos(-

1

3

x+

π

4

)  ＞0⇒2kπ-

π

2

＜-

1

3

x+

π

4

＜2kπ+

π

2

，k∈Z
解之得函数的定义域为：(6kπ-

3π

4

，6kπ+

9π

4

)，k∈Z
令t=cos(-

1

3

x+

π

4

)  =cos(

1

3

x-

π

4

)
∵0＜

1

2

＜1
∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=log

1

2

cos(-

1

3

x+

π

4

)的单调递增区间
由2kπ＜

1

3

x-

π

4

＜ 2kπ+π，k∈Z，得x∈(6kπ+

3π

4

，6kπ+

15π

4

)，k∈Z，
再结合函数的定义域，得x∈(6kπ+

3π

4

，6kπ+

9π

4

)，是原函数的增区间
故答案为：(6kπ+

3π

4

，6kπ+

9π

4

)

点评：本题以对数型函数为例，考查了复合三角函数的单调性，属于中档题．解题的同时要注意单调区间应该是函数的定义域的子集．